Elementos, características y componentes de los grafos

5.1 Elementos, características y componentes de los grafos   

Definición de grafo 

Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos vértices. 

Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc. 

La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo. 

Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo. 

Elementos de los grafos 

Aristas 

Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen también caminos. 

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une.  

Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos. 

 Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice. 

 Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el final son el mismo. 

 Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo. 

 Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto. 

Vértices 

Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. 
Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es "par" o "impar" según lo sea su grado. 

 Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el vértice inicial y V el vértice adyacente. 

 Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero. 

 Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1. 

Caminos 

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso 

 x e y se llaman los extremos del camino 

 El número de aristas del camino se llama la longitud del camino. 

 Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple. 

 Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos. 

 Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado. 

 Llamaremos ciclo a un circuito simple  

 Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo 

5.1.1 Tipos de grafos 

Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco.

En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes. 

Ejemplos 

G1 = (V1, A1) 

V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 

G2 = (V2, A2) 

V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)} 

G3 = (V3, A3) 

V3 = {1, 2, 3} A3 = { (1, 2), (2, 1), (2, 3) }  

  

Grafo simple. Se dice que el grafo G = (V, E) es  un grafo simple de grado n si todos sus vértices tienen grado n.

Grafo completo. Un grafo es  completo si cada par de vértices está unido por una arista. Se denota por Kn al grafo completo de n vértices. Ejemplos:

Grafo bipartido. Un grafo es  bipartido si V=V1∪V2 y cada arista de E une un vértice de V1 y otro de V2.  Ejemplos:

-Grafo bipartido completo.Un  grafo es  bipartido completo si V=V1∪V2 y dos vértices de V están unidos por una arista de E si y solo si un vértice está en V1 y el otro en V2. Se denota por Kr,sal grafo bipartido completo donde V1 tiene r vértices y V2 tiene s vértices. 

Grafos planos.  Un grafo plano es aquel que puede ser dibujado en el plano sin que ninguna arista se interseque.Ejemplos:

 Grafos conexos. Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Ejemplos: 

Grafo ponderado.  Un grafo es ponderado si presenta los pesos de cada arista y se puede determinar la longitud de una ruta, la cual es la suma de todos los pesos de las aristas. 

5.2  Representación de grafos

Matriz de adyacencia

La matriz de adyacencia de un grafo es simétrica. Si un vértice es aislado entonces la correspondiente fila (columna) esta compuesta sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la matriz de adyacencia contiene  solo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal esta compuesta sólo por ceros.

Matriz de incidencia

La matriz de incidencia sólo contiene ceros y unos (matriz binaria). Como cada arista incide exactamente en dos vértices, cada columna tiene exactamente dos unos. El número de unos que aparece en cada fila es igual al grado del vértice correspondiente. Una fila compuesta sólo por ceros corresponde a un vértice aislado.

5.2.1 MATEMÁTICA

En matemáticas y ciencias de la computación, la teoría de grafos, también llamada teoría de loas graficas estudia las propiedades de los grafos (también llamados graficas) Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de partes de vértices llamados aristas. 

5.2.2 COMPUTACIONAL

Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos, usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras mas sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices y aunque frecuentemente se usa una combinación de ambos. 

5.3 Algoritmos de recorrido y búsqueda

5.3.1 Algoritmos de recorrido y búsqueda El camino mas corto

El problema de los caminos más cortos es el problema que consiste en encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal manera que la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima. Ahora bien, podemos emplear el algoritmo de Dijkstra para éstos casos, los pasos o procedimientos a seguir para éste algoritmo son los siguientes : Teniendo un grafo dirigido ponderado de N nodos no aislados, sea x el nodo inicial, un vector D de tamaño N guardará al final del algoritmo las distancias desde x al resto de los nodos.

1. Inicializar todas las distancias en D con un valor infinito relativo ya que son desconocidas al principio, exceptuando la de x que se debe colocar en 0 debido a que la distancia de x a x sería 0.
2. Sea a = x (tomamos a como nodo actual).
3. Recorremos todos los nodos adyacentes de a, excepto los nodos marcados, llamaremos a estos vi
4. Si la distancia desde x hasta va guardada en D es mayor que la distancia desde x hasta a, sumada a la distancia desde a hasta vi; esta se sustituye con la segunda nombrada.
5. Marcamos como completo el nodo a.
6. Tomamos como próximo nodo actual el de menor valor en D (puede hacerse almacenándolos valores en una cola de prioridad) y volvemos al paso 3 mientras existan nodos no marcados.

5.3.2 Algoritmos de recorrido y búsqueda A lo ancho

La búsqueda en anchura es otro procedimiento para visitar sistemáticamente todos los vértices de un grafo. Es adecuado especialmente para resolver problemas de optimización, en los que se deba elegir la mejor solución entre varias posibles. Al igual que en la búsqueda en profundidad se comienza en un vértice v (la raíz) que es el primer vértice activo. En el siguiente paso se etiquetan como visitados todos los vecinos del vértice activo que no han sido etiquetados. Se continúa etiquetando todos los vecinos de los hijos de v (que no hayan sido visitados aún). En este proceso nunca se visita un vértice dos veces por lo que se construye un grafo sin ciclos, que será un árbol

5.3.3 Algoritmos de recorrido y búsqueda En profundidad

En la búsqueda en profundidad se avanza de vértice en vértice, marcando cada vértice visitado. La búsqueda siempre avanza hacia un vértice no marcado, internándose “profundamente” en el grafo sin repetir ningún vértice. Cuando se alcanza un vértice cuyos vecinos han sido marcados, se retrocede al anterior vértice visitado y se avanza desde éste.

Referencias

https://es.scribd.com/document/310274082/Elementos-y-Caracteristicas-de-Los-Grafos

https://es.scribd.com/doc/106576775/UNIDAD-VI-Matematicas-Discretas?doc_id=106576775&download=true&order=439864744

http://9relaciones.blogspot.mx/2014/11/teoria-de-grafos.html#5